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タイル並べとフィボナッチ数列の関係

タイル並べとフィボナッチ数列の関係
2㎝を足すのは、 ×2の並べ方しかないので、+1㎝のどの並べ方とも同じになってしまうのです。つまり、<い>はかんがえる必要はないということになります。

黄金比はすべてを美しくするか? 最も謎めいた「比率」をめぐる数学物語 みんなのレビュー

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図&実例満載で大変に分かりやすい。
でも数式が登場すると途端に眠くなるのは読者側の頭のせいでしょう。 タイル並べとフィボナッチ数列の関係
読み物としての完成度が高いところに好感を持ちます。

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φ、ファイ、黄金比、黄金分割、…などと呼ばれる1.618033…という比率。古くはユークリッドにまでさかのぼり、いや、自然界ではオウムガイの殻の成長にも見られる数値。
これがどうして自然界に見られるのか、そしてどうして人間はそんな昔からこの数字に興味を持っていたのか?いや、本当に人はそんなにこの数字を愛用してたの?
黄金比の持つ神秘性、フィボナッチ数列との関係は面白いし、古代人類はこの数字を昔から知っていて活用していた!ピラミッドにも黄金比が隠れている?といった○曜スペシャル(例えが古い?)的な熱狂にも冷静に対応していている。誰かが言った事を前提に検証をせずに流布されて行く情報、もしくはその前提に無意識に合わせようとする人間の姿も垣間見える。

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著者は宇宙物理学者だが、基本的に数学史上の「黄金比、φ」をめぐるトピックを並べた読み物である。
黄金分割についてはさまざまな噂があるが、この本は意外にも、そういった「神話」を突き崩していく。古代ギリシャのパルテノン神殿、エジプトのピラミッド、多くの西欧絵画に黄金比が利用されている、といった過去の言説に対して、根拠が曖昧でこじつけ的なものとして批判を浴びせる。
そうした「黄金比神話」のまやかしを批判しながらも、「φ(ファイ)」が数学においてしばしば突然出現する、やはり不思議な無理数であることを強調している。
「黄金比が数学、科学、自然現象といった多くの領域で重要な存在だとしても、私としては、人間の形にしても、芸術の試金石としても、それを美観の絶対的基準とするのはやめるべきだと思うのである。」(P.310)
これが著者の主張の核心だ。
この本には載っていないが、ドビュッシーのあるピアノ曲が黄金比に基づいている、という噂を私も聞いたことがある。これも怪しげな「神話」であったろう。実際のところ、1.618. という黄金数を創作に持ち込んでもあまり意味はないと思う。
「数」が世界の根源を解明する鍵だというピタゴラスの思想は、実際そこから西欧の「偉大な」自然科学の歴史を生み出したが、ある数を取りだして神話化してしまう姿勢はまったく「科学的」なのではない。
わからないものはわからないと考えた方がよい。芸術や文化には無理に神秘を持ち込む必要はないだろう。

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とは言え、中身は面白い。
フィボナッチ数列が出てきてからはぐいぐい読み進める。
そこまでは苦痛でもあるが。。。

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原書名:The golden ratio

1 φへのプレリュード
2 音程と五芒星形
3 星を指すピラミッドの下に
4 第二の宝
5 気だてのよい息子
6 神聖な比例
7 画家と詩人はどんな思い切ったこともやってよい
8 タイルから天空まで
9 神は数学者なのか?

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BOOK DATE:
無限小数を用いた1:1.618……は、最も美しい比率「黄金比」と呼ばれ、古代からさまざまな芸術作品に用いられてきた、とされる。この比率は、古くから数学者たちの注目を集め、幾何学の基礎を作ったユークリッドまでさかのぼる歴史を持つ。オウムガイの殻のでき方やヒマワリの種の配列のような自然の事物、音楽や文学、はては株価推移のグラフをも支配するという、この神出鬼没の黄金比の魅力と真実に迫る、決定版数学読本

タイル並べとフィボナッチ数列の関係 2

R. S.講師の記事

(1)の2通りでした。

㋐ 、㋑

2cm+2cm

3cm+1cm
㋓ 、㋔
というように分類できました。

ところが、このように分類すると、㋑、㋒、㋓がすべて同じ並べ方になっていることに気付きます。全部 に置くのは、どのような足し算で考えてもすべて同じになってしまうからです。以上から3通りが答えとなります。

<あ>
4cmを作る方法は(2)で3通りとわかっています。

これに1㎝を加えると、 タイル並べとフィボナッチ数列の関係
、 、 の3通りができます。

<い>
3㎝は(1)の答えですので、2通りです。
これに、2㎝を加える方法は


の2通りがあるのですが、これはどちらもすでに<あ>の中に出てきています。

2㎝を足すのは、 ×2の並べ方しかないので、+1㎝のどの並べ方とも同じになってしまうのです。つまり、<い>はかんがえる必要はないということになります。

<う>
2㎝をつくる方法は、1通りあり、これに3㎝を足すので、
、 の2通りですが、さきほどとお同じで、×3として付け足すのは、すでに出てきていますので、これは1通りだけです。

以上より、<あ>が3通り、<い>は考えない、<う>は1通りなので、
合計4通り が答えです。

(4)さきほどの問題を、前問との繋がりで処理できれば、これは簡単です。書き出すのは、非常に大変でしょう。
ということで、分類は前問と同じく、
<あ>5㎝+1㎝のパターン
(3)の5通りの答えに+1㎝ →4通り

フィボナッチ数列とは? 問題に隠れた規則性に気づけるようにしよう

中学入試では、並べられた数字から規則性を見つけ出す問題がよく出題されます。数列で有名なものといえば、等差数列、等比数列、階差数列などですが、ひときわ目立つ名前の数列があります。それがフィボナッチ数列です。名前からして異彩を放っていますが、その性質も神秘に満ちたもので、魅了されてしまった科学者も多くいるほどです。今回は中学受験に向けてフィボナッチ数列にどう対処すべきかを、例題を交えながら解説します。

フィボナッチ数列とは?

1, タイル並べとフィボナッチ数列の関係 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144……

まずは規則性を理解する

差を計算すると、フィボナッチ数列らしき数字が出てきました。フィボナッチ数列は、直前の2つの項の数を足したものが次の項の数になる数列です。そのためこのような結果になるんですね。規則自体はとてもシンプルです。一度でもフィボナッチ数列を見たことがあれば、規則性はすぐに理解できるでしょう。

自分で書いてみると簡単さがわかる

「場合の数の問題」にフィボナッチ数列が現れる

【例題1】 階段の登り方は何通り?

4段目までの登り方は、「2段目まで登ってから4段目に到達する2通り」と「3段目まで登ってから4段目に到達する3通り」があるので、合計5通りです。つまり、4段目までの登り方の「場合の数(5通り)」は、2段目までの登り方の「場合の数(2通り)」と、3段目までの登り方の「場合の数(3通り)」の合計になるのです。まさにフィボナッチ数列のような関係になっています。

6段目までの登り方であれば、図を描いて場合分けをしていけば力わざで解けてしまう場合もあります。しかし、15段目までの登り方を答えさせる問題があったらどうでしょうか? 答えは、なんと987通り! フィボナッチ数列であることに気づいていないと、とうてい解くことはできませんね。

【例題2】 タイルの並べ方は何通り?

このとき、「縦2cm×横4cm」の並べ方の「5通り」は、「縦2cm×横2cm」に並べた場合の「2通り」と、「縦2cm×横3cm」に並べた場合の「3通り」を合計したものと同じです。またしても、フィボナッチ数列が見えてきました。

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名古屋市科学館

展示ガイド

自然現象に見る数学

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展示作品の狙い
知識プラスワン

【フィボナッチ数】
フィボナッチ数とは、最初に1と1があり、その後は前2つの数字を足した数というものです。具体的には、1、1、2、3、5、8、13、21・・・・・と続く数字です。
自然現象に現れるフィボナッチ数に次のものがあります。ヒマワリの花の中で、種の並びは渦巻模様になっていて、その渦巻の腕の本数がフィボナッチ数になります。他にも松かさやパイナップルの鱗片(りんぺん)も渦巻模様になっていますが、その腕の本数もフィボナッチ数になります。
フィボナッチは12世紀から13世紀にかけてイタリアのピサで活躍した数学者です。彼は「算盤の書」という本で、アラビア数字(現代の私たちが慣れ親しんでいる0から9までの数字)をヨーロッパに紹介しました。その本の中で「うさぎの問題」と言われる、うさぎのつがいがある条件のもとでどのように増えるのかという問題を出しており、その答えはフィボナッチ数になります。
フィボナッチ数は、大きなフィボナッチ数になるほど、隣り合う2つの数の比が一定の値に近づき、極限値(どこまでも数を大きくしていった時の値)は黄金比になります。黄金比とは最も美しいと言われる数の比(およそ1:1.6)です。
【フラクタル】
木の枝が樹木全体の形に似ていたり、複雑に入り組んだ海岸線が、一部分と、もっと大きな面積とを見比べたときに形が似ていたりするような、図形の部分と全体が相似になっているものをフラクタルといいます。
フラクタルという言葉は、数学者ブノワ・マンデルブロ(1924-2010)が「折れた」とか「ひびが入った」を意味するフラクツスというラテン語から作ったもので、1977年に論文で発表しました。フラクタルは数学の概念なので厳密な意味では自然界にフラクタルは存在しませんが、よくあてはまる例として、人や動物の血管の分岐構造や肺の構造、山岳地形など自然界のあらゆるところに見出されます。
【充填(じゅうてん)図形】
平面や空間を、一種類あるいは数週類の図形や立体だけで埋めつくすことができます。そのような図形を自然物の中に見ることができます。正六角形がすきまなく並んだ蜂の巣はその典型的なものです。玄武岩の柱状節理(ちゅうじょうせつり)も六角形がすきまなく並んでいます。
正六角形以外に、一種類だけで平面を充填できる正多角形は、正三角形と正方形のみです。正多角形でなければ、一種類だけで平面を充填できるものには、平行四辺形を始め他にもいろいろとあります。複数種類の多角形であれば、様々なものがありますが、そのどれもが周期的なパターンで埋めつくされます。
周期的なパターン以外に、非周期な充填図形もあります。イギリスの物理学者ロジャー・ペンローズ(1931年生まれ)が2種類の図形で非周期な平面図形を見出しました。その図形はペンローズ・タイルと呼ばれています。自然に存在する結晶はペンローズ・タイルに相当するような充填構造はないと考えられていましたが、1984年にペンローズ・タイルと同じ5回対称性を持つ結晶が発見され、準結晶と名付けられました。

参考資料
視覚でとらえるフォトサイエンス物理図録(2006)数研出版編集部(数研出版)
日常にひそむ数理曲線(2010)佐藤雅彦(小学館)
文 学芸員 山田吉孝

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